Михаил Мещеряков происходил из казачьей семьи, жившей в селе Самбек Таганрогского уезда. В 1931 году молодой человек поступил на физический факультет Ленинградского государственного университета, который окончил с отличием в 1936 году. Затем будущий ученый стал работать в Радиевом институте АН СССР (РИАН), где его научным руководителем был профессор Игорь Васильевич Курчатов, привлекший талантливого аспиранта к работе над Атомным проектом СССР.
В 1946 – 1947 годах Мещеряков присутствовал в качестве наблюдателя от СССР при испытаниях атомных бомб США на атолле Бикини. Об увиденном на испытаниях Мещеряков передал в Советский Союз подробный отчет, но сам на Родину не вернулся. Михаил Мещеряков был оставлен в Нью-Йорке и назначен от СССР научным экспертом Технического комитета Атомной комиссии ООН, созданного в том же 1946 году и проработал в нём до зимы 1947 года.
В 1946 – 1947 годах Мещеряков присутствовал в качестве наблюдателя от СССР при испытаниях атомных бомб США на атолле Бикини. Об увиденном на испытаниях Мещеряков передал в Советский Союз подробный отчет, но сам на Родину не вернулся. Михаил Мещеряков был оставлен в Нью-Йорке и назначен от СССР научным экспертом Технического комитета Атомной комиссии ООН, созданного в том же 1946 году и проработал в нём до зимы 1947 года.
После возвращении из командировки в США Михаила Мещерякова назначили начальником лаборатории № 2 Академии наук СССР, созданной в апреле 1946 года на базе лаборатории по изучению атомной энергии, которая действовала в Москве по Постановлению ГКО с 1943 года.
Одновременно Михаилу Мещерякову поручили организовать строительство под Москвой в районе поселка Большая Волга ( ныне - Дубна) мощного синхроциклотрона. Который был запущен уже в декабре 1949 года и до 1953 года синхроциклотрон оставался крупнейшим ускорителем протонов в мире.
В 1949 году на казахстанском полигоне под Семипалатинском прошли успешные наземные испытания первой советской атомной бомбы - «Объекта РДС-1». Михаил Мещеряков был в числе непосредственных участников проведения испытания и отвечал за исправность аппаратуры предназначенной для записи параметров предстоящего взрыва.
В 1949 году на казахстанском полигоне под Семипалатинском прошли успешные наземные испытания первой советской атомной бомбы - «Объекта РДС-1». Михаил Мещеряков был в числе непосредственных участников проведения испытания и отвечал за исправность аппаратуры предназначенной для записи параметров предстоящего взрыва.
В последующем, вся дальнейшая жизнь Михаила Мещерякова была тесно связана с подмосковным городом Дубна, поэтому сторожили города и местные краеведы считают Михаила Мещерякова отцом-основателем Дубны.
Со временем, Лаборатория 2, которой руководил Мещеряков была преобразована в Институт ядерных проблем Академии наук СССР. В 1956 году вошел в состав созданного Объединенного института ядерных исследований.
В 1966 году в составе Объединённого института ядерных исследований была образована Лаборатория вычислительной техники и автоматизации (ЛВТА), директором лаборатории был назначен Михаил Григорьевич Мещеряков, а с 1988 года переведён на должность почётного директора.
Основные научные труды Михаила Григорьевича относятся к области ускорителей, физики атомного ядра и элементарных частиц. Проведенные им исследования позволили обнаружить резонансные эффекты в нуклон-нуклонных взаимодействиях, установить зависимость спектров π-мезонов от размеров облучаемых ядер. Ряд работ был посвящен проблеме автоматизации физических исследований.
Михаил Григорьевич умер 24 мая 1994 года. Похоронен на Большеволжском кладбище Дубны.
Михаил Григорьевич умер 24 мая 1994 года. Похоронен на Большеволжском кладбище Дубны.